Kurz: Pravděpodobnost a statistika (PaSTA)

Projekt č. 2: Pravděpodobnost II

Jméno: Bc. Kryštof Šara (SAR0130)

Datum: 28. 04. 2024

Příklad 1

Zadání

Pracovní agentura shání pro svého klienta 12 zaměstnanců. Zaměstnanec je přijat poté, když uspěje u pohovoru. Průměrná úspěšnost uchazečů u pohovoru je 40 %.

  • a) Určete pravděpodobnost, že se podaří obsadit všech 12 pozic, pokud se k pohovoru dostaví 25 uchazečů.
  • b) Kolik uchazečů by bylo potřeba, aby se všech 12 pozic podařilo obsadit s pravděpodobností alespoň 0,9?

Řešení

Náhodnou veličinou budiž počet uchazečů \(X\). Pravděpoodnost \(p\) je 40 %, tj. 0.4. Jelikož se jedná o binární logiku pravděpodobnosti, můžeme použít Binomické rozdělení pravděposobnosti \(Bi(n, p)\).

Podřešení a

$$ \begin{align} &X \dots \text{počet úspěšně obsazených pozic}\\ &n = 25\\ &p = 0.4\\ &X \sim Bi(n, p) \sim Bi(25, 0.4)\\ \end{align} $$

$$ P(X \ge 12) = 1 - P(X \lt 12) = 1 - P(X \le 11) $$

Výpočet pravděpodobnosti budiž vykonán pomocí jazyka R:

1
2
3

x <- 1 - pbinom(11, 25, 0.4)

x = 0.2677

Pravděpodobnost, že se podaří obsadit všech 12 pozic, pokud přijde 25 uchazečů, je 0.2677.

Podřešení b

Záporně binomické rozdělení pravděpodobnosti.

$$ \begin{align} &Y \dots \text{počet uchazečů k obsazení 12 pozic (počet pokusů k dosažení 12. úspěchu)}\\ &Y \sim NB(12, 0.4)\\ &n \dots \text{nejmenší počet uchazečů}\\ \end{align} $$

Hledáme nejmenší \(n \in N\), takové, že:

$$ P(Y \le n) \ge 0.9\\ F_{Y}(n) \implies n = y_{0.9} $$

Hledáme kvantil 0.9-kvantil.

1
2
3

y <- qnbinom(0.9, 12, 0.4) + 12

y = 39

Aby se podařilo obsadit všech 12 pozic s pravděpodobností aspoň 0.9, musí k pohovoru přijít 39 uchazečů.

Příklad 2

Zadání

Počty gólů, které vstřelí jednotlivá mužstva během sportovních utkání, lze modelovat pomocí Poissonova rozdělení. Ve fotbalovém zápase proti sobě nastoupila mužstva A a B. Mužstvo A dává průměrně 1,5 gólů za zápas, mužstvo B 1,9 gólů za zápas. Určete pravděpodobnost, že první poločas skončí s výsledkem 0:0.

Řešení

Je potřeba najít pravděpodobnosti, že každé mužstvo dá 0 gólů za poločas (45 minut), když známe střední hodnoty za celý zápas (9% minut).

$$ \begin{align} &X_{A} \sim Po(\lambda * 90)\\ &EX_{A} = 1,5 \implies \lambda = \frac{1,5}{90} = \frac{1}{60}\\\\ &Y_{A} \sim Po(\frac{1}{60} * 45) \end{align} $$

$$ P(Y_{A} = 0) $$

1
2
3

ya <- dpois(0, (1/60)*45)

ya = 0.4724

Pravděpodobnost, že mužstvo A dá za poločas 0 gólů, je 0.4724.

$$ \begin{align} &X_{B} \sim Po(\lambda * 90)\\ &EX_{B} = 1,9 \implies \lambda = \frac{1,9}{90}\\\\ &Y_{B} \sim Po(\frac{1,9}{90} * 45) \end{align} $$

$$ P(Y_{B} = 0) $$

1
2
3

yb <- dpois(0, (1.9/90)*45)

yb = 0.386741

Když teď skombinujeme obě vypočtené pravděpodobnosti, tedy

$$ P(Y_{A} = 0) * P(Y_{B} = 0) = 0.1827 $$

Pravděpodobnost, že obě mužstva vstřelí za poločas 0 gólů, je 0,1827.