Kurz: Funkce komplexní proměnné a integrální transformace (FKPIT)

Projekt č. 2: Laplaceova transformace, Zadání č. 8

Jméno: Bc. Kryštof Šara (SAR0130)

Datum: 15. 12. 2023

Zadání

Vypočtěte pomocí L-transformace:

a) \(y’’ + y’ - 6y = x^2 - 16,~y(0) = 1,~y’(0) = 0\)

b) \(y’’ + y’ - 2y = 7x + 8,~y(1) = 2,~y’(1) = 2\)

c) \(x’’ + x = f(t),~\) kde $$ f(t) \stackrel{def.}{=} \begin{cases} 0, & t < 1, \\ 2, & t \in [1, 4], & x(0) = x’(0) = 0, \\ 0, & t > 4. \end{cases} $$

Zadaní a)

$$ y’’ + y’ - 6y = x^2 - 16,~y(0) = 1,~y’(0) = 0 $$

Analýza

Před nalezením řešení je třeba stanovit předpoklady a splnit podmínky. Levá i pravá strana rovnice, resp. jejich příslušné Laplaceovy integrály musí být konvergentní.

Pro levou stranu splnění podmínek předpokládáme, pravou stranu je třeba upravit rozšířením o Heavisidiovu funkci \(\eta(x)\).

Ověření splnění podmínek pro pravou stranu:

$$ f(x) = x^2 - 16 $$

  1. funkce \(f(x)\) je spojitá na intervalu \([0, \infty)\)
  2. pro splnění \(x < 0, f(x) = 0\) funkci vynásobíme Heavisidovou funkcí, tj. \(f(x) = (x^2 - 16) * \eta(x)\)
  3. funkce \(f(x)\) má pro \(x \ge 0\) ohraničený růst: \(|x^2 - 16| \le Me^{\delta x}\), kde \(M\) a \(\delta\) jsou reálné konstanty.

Výpočet

Pro větši přehlednost rozepíšeme funkci \(y\) jako funkci proměnné \(x\):

$$ y’’(x) + y’(x) - 6y(x) = x^2 - 16,~y(0) = 1,~y’(0) = 0 $$

Nejprve si rozepíšeme L-transformaci jednotlivých členů rovnice:

$$ L[ y’’(x) ] = p^2 * Y(p) - p * y(0_+) - y’(0_+) \\ L[ y’(x) ] = p * Y(p) - y(0_+) \\ L[ y(x) ] = Y(p) \\ L[ x^2 * \eta(x) ] = \frac{2}{p^3} \\ L[ 16 * \eta(x) ] = \frac{16}{p} $$

Nyní dosadíme počáteční podmínky a dáme jednotlivé obrazy dohromady:

$$ p^2 * Y(p) - p * 1 - 0 + p * Y(p) - 1 - 6*Y(p) = \frac{2}{p^3} - \frac{16}{p} $$

Vytkneme \(Y(p)\) a převedeme zbytek levé strany na stranu pravou:

$$ Y(p) [ p^2 + p - 6] = \frac{2}{p^3} - \frac{16}{p} + p + 1 \\ $$

Pravou stranu převedeme na společného jmenovatele:

$$ Y(p) [ p^2 + p - 6] = \frac{2}{p^3} - \frac{16p^2}{p^3} + \frac{p^4}{p^3} + \frac{p^3}{p^3} \\ $$

Nalezením kořenů kvadratické rovnice získáváme:

$$ p^2 + p - 6 = (p-2)(p+3) $$

Vydělíme levou stranu kvadratickým výrazem tak, abychom získali podíl polynomů na straně pravé:

$$ Y(p) = \frac{ 2 - 16p^2 + p^3 - p^4 }{ p^3( p - 2 )( p + 3 ) } $$

Dále je potřeba polynom rozložit na parciální zlomky:

$$ Y(p) = - \frac{1}{3p^3} - \frac{1}{18p^2} + \frac{281}{108p} - \frac{50}{27(p + 3)} - \frac{7}{4(p - 2)} $$

Nakonec můžeme získat přímo řešení diferenciální rovnice pomocí zpětné L-transformace:

$$ y(x) = - \frac{x^2}{6} - \frac{x}{18} + \frac{281}{108} - \frac{50}{27}e^{ -3x } - \frac{7}{4}e^{ 2x } $$

Po úpravě převedením na společného jmenovatele získáme řešení:

$$ \boxed{ y(x) = \frac{1}{108} * \lbrack -18x^2 - 6x + 281 - 200e^{-3x} - 189e^{ 2x } \rbrack } $$

Zadaní b)

$$ \begin{cases} y’’ + y’ - 2y = 7x + 8 \\ y(1) = 2,~y’(1) = 2 \\ \end{cases} $$

Analýza

Před nalezením řešení je třeba stanovit předpoklady a splnit podmínky. Levá i pravá strana rovnice, resp. jejich příslušné Laplaceovy integrály musí být konvergentní.

Pro levou stranu splnění podmínek předpokládáme, pravou stranu je třeba upravit rozšířením o Heavisidiovu funkci \(\eta(x)\).

Ověření splnění podmínek pro pravou stranu:

$$ f(x) = 7x + 8 $$

  1. funkce \(f(x)\) je spojitá na intervalu \([0, \infty)\)
  2. pro splnění \(x < 0, f(x) = 0\) funkci vynásobíme Heavisidovou funkcí, tj. \(f(x) = (7x + 8) * \eta(x)\)
  3. funkce \(f(x)\) má pro \(x \ge 0\) ohraničený růst: \(|7x - 8| \le Me^{\delta x}\), kde \(M\) a \(\delta\) jsou reálné konstanty.

Výpočet

Rovnice b) má tzv. posunuté počáteční podmínky (nejsou dány v bodě \(x_0\)), proto musíme provést substituci:

$$ x = \tau + 1 \\ y(x) = y(\tau - 1) = z(\tau) $$

Nová rovnice má pak tvar:

$$ \begin{cases} z’’ + z’ - 2z = 7(\tau + 1) + 8 \\ z(0) = 2,~z’(0) = 2 \\ \end{cases} $$

Dále můžeme provést dopřednou L-transformaci jednotlivých členů diferenciální rovnice:

$$ L[-2z(\tau)] = -2Z(p) \\ L[z’(\tau)] = pZ(p) - 2 \\ L[z’’(\tau)] = p^2Z(p) - 2p - 2 \\ \\ L[7(\tau + 1)] = \frac{7}{p^2} + \frac{7}{p} \\ L(8) = \frac{8}{p} $$

Dostáváme obrazy:

$$ p^2Z(p) - 2p - 2 + pZ(p) - 2 - 2Z(p) = \frac{7}{p^2} + \frac{7}{p} + \frac{8}{p} $$

Upravíme levou stranu tak, abychom získaly pouze členy s \(Z(p)\), což následně vytkneme:

$$ p^2Z(p) + pZ(p) - 2Z(p) = \frac{7}{p^2} + \frac{7}{p} + \frac{8}{p} + 2p + 4 $$

$$ Z(p)(p^2 + p - 2) = \frac{7}{p^2} + \frac{7}{p} + \frac{8}{p} + 2p + 4 $$

Kvadratický činitel na levé straně můžeme rozložit:

$$ p^2 + p - 2 = (p + 2)(p - 1) $$

Převedeme pravou část na společný jmenovatel a vyjádříme \(Z(p)\):

$$ Z(p)(p + 2)(p - 1) = \frac{7 + 7p + 8p + 2p^3 + 4p^2}{p^2} \\ Z(p)(p + 2)(p - 1) = \frac{7 + 15p + 2p^3 + 4p^2}{p^2} \\ Z(p) = \frac{7 + 15p + 2p^3 + 4p^2}{p^2(p + 2)(p - 1)} \\ $$

Vyjádříme \(Z(p)\) po rozkladu na parciální zlomky:

$$ Z(p) = -\frac{7}{2p^2} - \frac{37}{4p} + \frac{23}{12(p + 2)} + \frac{28}{3(p-1)} $$

Aplikujeme zpětnou L-transformaci pro \(\tau > 0\):

$$ z(\tau) = -\frac{7\tau}{2} + \frac{23e^{-2\tau}}{12} + \frac{28e^{\tau}}{3} - \frac{37}{4} $$

Zpětnou substitucí \(\tau = x - 1\) a \(z(\tau) = y(x)\) dostáváme pro \(x \ge 1\):

$$ y(x) = -\frac{7(x - 1)}{2} + \frac{23e^{-2(x - 1)}}{12} + \frac{28e^{(x - 1)}}{3} - \frac{37}{4} $$

Převedeme řešení na společný jmenovatel 12:

$$ y(x) = \frac{-42x + 42}{12} + \frac{23e^{-2(x - 1)}}{12} + \frac{112e^{(x - 1)}}{12} - \frac{111}{12} $$

Vytkneme jednu dvanáctinu a roznásobíme exponenty:

$$ y(x) = \frac{1}{12}(-42x + 23e^{2-2x} + 112e^{x - 1} - 69) $$

Nakonec dostáváme řešení:

$$ \boxed{ y(x) = \frac{1}{12}(-42x + 23e^{2-2x} + 112e^{x-1} - 69) } $$

Zadaní c)

\(x’’ + x = f(t),~\) kde $$ f(t) \stackrel{def.}{=} \begin{cases} 0, & t < 1, \\ 2, & t \in [1, 4], & x(0) = x’(0) = 0, \\ 0, & t > 4. \end{cases} $$

Analýza

Před nalezením řešení je třeba stanovit předpoklady a splnit podmínky. Levá i pravá strana rovnice, resp. jejich příslušné Laplaceovy integrály musí být konvergentní.

Pro levou stranu splnění podmínek předpokládáme, pravou stranu je třeba upravit rozšířením o Heavisidiovu funkci \(\eta(x)\).

Ověření splnění podmínek pro pravou stranu:

$$ f(t) \stackrel{def.}{=} \begin{cases} 0, & t < 1, \\ 2, & t \in [1, 4], & x(0) = x’(0) = 0, \\ 0, & t > 4. \end{cases} $$

  1. funkce \(f(t)\) je po částech spojitá na intervalu \([0, \infty)\)
  2. pro splnění \(x < 0, f(t) = 0\) funkci vynásobíme Heavisidovou funkcí, tj. \(f(t) = f(t) * \eta(x)\)
  3. funkce \(f(x)\) má pro \(x \ge 0\) ohraničený růst: \(|f(t)| \le Me^{\delta x}\), kde \(M\) a \(\delta\) jsou reálné konstanty.

Výpočet

Nejprve postupně transformujeme členy levé strany zadané diferenciální rovnice:

$$ L[x(t)’’] = p^2X(p) - 0p - 0 \\ L[x(t)] = X(p) $$

Pravou stranu je třeba zintegrovat podle definice v zadání:

$$ L[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-pt} dt = \int_{1}^{4} 2e^{-pt} dt = \frac{2e^{-4p}(e^{3p}-1)}{p} $$

Odpovídající operátorová rovnice má pak tvar:

$$ p^2X(p) + X(p) = \frac{2e^{-4p}(e^{3p}-1)}{p} $$

Vyjádříme \(X(p)\):

$$ X(p)(p^2 + 1) = \frac{2e^{-4p}(e^{3p}-1)}{p} $$

$$ X(p) = \frac{2e^{-4p}(e^{3p}-1)}{p(p^2 + 1)} $$

Rozložíme na partiální zlomky (v tomto případě jenom roznásobíme?):

$$ X(p) = \frac{ 2e^{-p} }{p(p^2 + 1)} - \frac{2e^{-4p}}{p(p^2 + 1)} $$

Dále aplikujeme zpětnou Laplaceovu transformaci:

$$ \boxed{ x(t) = 2\eta(t-4)( cos(4 - t) - 1) - 2\eta(t-1)( cos(1-t) -1) } $$

Poznámka: \(\eta(t)\) je Heavisidova funkce.