Fourierovy řady

Kurz: Funkce komplexní proměnné a integrální transformace (FKPIT)

Projekt č. 1: Fourierovy řady, Zadání č. 8

Jméno: Bc. Kryštof Šara (SAR0130)

Datum: 30. 11. 2023

Zadání

Buď \(T = 5\) a buď \(f\) taková \(T\)-periodická funkce, že platí: $$ f(t) = \begin{cases} -2e^{-3t}, & t \in \lbrack0, 3), \\ 0, & t \in [3,5). \ \end{cases} $$

1. Sestavte Fourierovou řadu funkce \(f\)
2. Sestavte sinovou Fourierovou řadu funkce \(f\) v intervalu \((0, T)\)
3. Sestavte kosinovou Fourierovou řadu funkce \(f\) v intervalu \((0,T)\)
4. V každém z případů nakreslete:
   • graf součtu příslušné Fourierovy řady,
   • graf součtu prvních tří členů Fourierovy řady,
   • prvních pět členů fázového a amplitudového spektra.

Analýza

Dirichletovy podmínky [1]

• funkce \( f(t) \) je periodická,
• funkce \( f(t) \) má v intervalu periodicity jen konečný počet nespojitosti 1. druhu,
• funkce \( f(t) \) má v intervalu periodicity po částech spojistou derivaci.

Oveření, zda je zadaná funkce kvadraticky integrovatelná:

$$ \int_{0}^{5} \vert f(t) \vert^2 dt < \infty $$ $$ \int_{0}^{3} \vert -2e^{-3t} \vert^{2} dt + \int_{3}^{5} \vert 0 \vert^{2} dt = \frac{2}{3} - \frac{2}{3e^{18}} \approx 0,667 < \infty $$

Z výsledku je patrné, že integrál kvadrátu zadané funkce je konečný, tudíž zadaná funkce je kvadraticky integrovatelná a jsou tím splněny Dirichletovy podmínky.

Sestavení

V každém z případů nakreslete:

• graf součtu příslušné Fourierovy řady,
• graf součtu prvních tří členů Fourierovy řady,
• prvních pět členů fázového a amplitudového spektra.

Sestavení Fourierovy řady

$$ f(t) = \begin{cases} -2e^{-3t}, & t \in \lbrack0, 3), \\ 0, & t \in [3,5). \ \end{cases} $$

Parametry

Koeficienty Fourierovy řady

$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \lbrack {a_n cos(n\omega t) + b_n sin(n\omega t)} \rbrack $$

$$ a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt $$

$$ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) * cos(n \omega t) dt $$

$$ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) * sin(n \omega t) dt $$

$$ c_n = \frac{1}{2} (a_n - ib_n) $$

Spektrální koeficienty

$$ A_0 = \frac{ \vert a_0 \vert }{2} $$

$$ A_n = \sqrt{ a_n^2 + b_n^2 } = 2 * \vert c_n \vert $$

$$ \varphi_n = - arg(c_n) $$

Výpočet koeficientů Fourierovy řady

Následující hodnoty byly získány pomocí výpočetního software Octave.

Vizualizace Fourierovy řady

Na okrajích periody funkce \( f(t) \), která byla vyjádřena jako Fourierova řada, je patrný tzv. Gibbsův fenomén (přestřelení hodnoty funkce).

Sestavení sinové Fourierovy řady

Sinová řada budiž lichým prodloužením zadané funkce \( f(t) \), která je po částech spojitá na intervalu \( (0, T_0], T_0 = L \). Liché prodloužení se základním intervalem periodicity \( (-L, L] \) pak budiž obecně funkce \( g(t) \) a to podle předpisu: [2][4]

$$ g(t) = \begin{cases} f(t), & t \in (0, L], \\ -f(-t), & t \in (-L, 0). \ \end{cases} $$

Parametry

Koeficienty sinové Fourierovy řady

$$ f(t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \lbrack {b_n sin(n\omega t)} \rbrack $$

$$ b_n = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t) * sin(n \omega t) dt $$

Spektrální koeficienty

$$ A_n = \sqrt{ b_n^2 } $$

$$ \varphi_n = arg(ib_n) $$

Hodnoty koeficientů Fourierovy řady

Následující hodnoty byly získány pomocí výpočetního software Octave.

Sestavení kosinové Fourierovy řady

Kosinová řada budiž sudým prodloužením zadané funkce \( f(t) \), která je po částech spojitá na intervalu \( (0, T_0], T_0 = L \). Sudé prodloužení se základním intervalem periodicity \( (-L, L] \) pak budiž obecně funkce \( g(t) \), a to podle předpisu: [2][4]

$$ g(t) = \begin{cases} f(t), & t \in (0, L], \\ f(-t), & t \in (-L, 0). \ \end{cases} $$

Parametry

Koeficienty kosinové Fourierovy řady

$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \lbrack {a_n cos(n\omega t)} \rbrack $$

$$ a_0 = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t) dt $$

$$ a_n = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} f(t) * cos(n \omega t) dt $$

$$ c_n = \vert a_n \vert $$

Spektrální koeficienty

$$ A_n = \sqrt{ a_n^2 } $$

$$ A_0 = \frac{ \vert a_0 \vert }{2} $$

$$ \varphi_n = arg(a_n) $$

Výpočet koeficientů Fourierovy řady

Následující hodnoty byly získány pomocí výpočetního software Octave.

Reference

Použitý výpočetní software:

• GNU Octave 7.3.0
• Wolfram Alpha